EXPRESIONES ALGEBRAICAS FACTORIZACION

EXPRESIONES ALGEBRAICAS


 Una expresión algebraica es aquella que contiene números, operaciones, variables y símbolos de agrupación. En una misma expresión no tienen que estar todos estos elementos mencionados.

Ejemplos

  2x + 1

  5y ²

    ^- 3( x-y ) ^{- 5}

   a - 2

Una variable es un símbolo que puede asumir cualquier valor. Las variables se denotan usando letras minúsculas. Las más comunes son a, b, c, x, y, w, z.
 Una constante es un símbolo que tiene un valor fijo. Los números reales representan constantes.
 Evaluar una expresión algebraica significa hallar el valor de la expresión cuando se da el valor de la variable.

Ejemplo 1  

  Evalúa 3m para m = 8

3 x 8 (sustitución)

40 (valor de la expresión)

Ejemplo 2  

  Evalúa 5x - 3w si x = -2 , w = 2

5( -2 ) - 3( 2 ) (sustitución)

-10 - 6 (simplificar)

-16 (valor de la expresión)

PRACTICA - Evalúa las siguientes expresiones si a =  - 3 y b = -1:

  (a + b)²          

  a² + b²           

  

Una expresión algebraica que consiste de la suma de términos de la forma axⁿ donde a es una constante, x es la variable y n es un entero no negativo, se conoce como un polinomio en la variable x.
La forma general de un polinomio es

a_n xⁿ + a _n-1 x ^n-1 + ... + a₂ x² + a₁ x + a₀

  los a_i se llaman los coeficientes numéricos de la variable x

  n es el grado del polinomio

  a_n es el coeficiente principal

  a₀ es el término constante del polinomio.

  Ejemplos

POLINOMIO	COEFICIENTE NUMÉRICO	GRADO	COEFICIENTE PRINCIPAL	CONSTANTE
5x2 + 8	a2 = 5, a0 = 8	n= 2	a2 = 5	a0 = 8
7x5 - 3x2 - 10	a5 = 7, a2 = - 3, a0 =-10	n= 5	a5 = 7	a0 = -10

CLASES DE POLINOMIOS
Los polinomios se clasifican de acuerdo al número de términos que tienen.

Monomio (1 término)	Binomio (2 términos)	Trinomio (3 términos)	Polinomios (mas de 3 términos)
4x -10xy  -8	x   +   2 x2 - y2 2a + b3	2x2 -  xy  + y2 y2 - 7y - 10 5z3 + z2 - z	x3  -  5x2 -  7x  +   9 2x2 - xy2 + yx2 - 7x2 y2 y5 - y3 + y2 - 7y - 10

 TÉRMINOS SEMEJANTES (o parecidos)

Tienen las mismas variables con los mismos exponentes	Otros son numéricos
4x, 10x, x, -x 9y2, 13y2, -y2 5xy, 7yx, xy	5,-23, -12

Simplificando expresiones que tienen términos parecidos

  Aplica la propiedad distributiva ab + ac = a ( b + c )

  Suma o resta los coeficientes numéricos dependiendo de los signos

  La variable prevalece igual

  
Ejemplo1
5x + 8x + 12x = ( 5 + 8 + 12 ) x = 25x
                                                             

Ejemplo 2
7y² - 4y² + y² =
( 7 - 4 + 1 ) y =              (agrupa)
4y²                    simplifica)
Ejemplo 3
6xy - xy - 21yx =
( 6 - 1 - 21 ) xy =          (agrupa)
-16 xy        (simplifica)
 Ejemplo 4

2a - 7b - 10b + 6a =

(2a + 6a) + ( - 7b - 10b) =      (agrupa)

( 2 - 6 )a + ( ^- 7 - 10 )b =        (agrupa)

- 4a -17b             (simplifica)

OPERACIONES CON POLINOMIOS 

Suma de polinomios

Que se hace

Se agrupan los términos semejantes , se simplifica y se ordena el polinomio.

 Ejemplo1:

 ( x² + x + 5 ) + ( 3x² + x -7 ) =

( x² + 3x² ) + ( x + x ) + ( 5 - 7 )=     (agrupa los semejantes)

4x² + 2x - 2         (suma o resta los coeficientes (las variables prevalecen)

Ejemplo 2 :

  ( 9 - y + y² ) + ( - y - 1 + y² ) =

 ( 9 - 1) + ( - y - y ) + ( y² + y² )=   (agrupa los parecidos)

8 - 2y + 2y²        (suma o resta los coeficientes) (las variables prevalecen)

 PRACTICA:

  ( x² + x - 11 ) + ( 6x² - x - 2 )

  ( 7y² + 5y - 1 ) + ( y² - y - 9 )

  ( xy² + 3xy + 4 ) + ( ^- 4 - 2x² y - yx )

  

 Resta de polinomios

Que se hace

Se suma el opuesto del polinomio sustraendo y se siguen las reglas de suma.

  Opuesto de un polinomio

Polinomio	Que se hace	Opuesto del polinomio
5x2 + 12 x - 8	Se cambia el signo de cada término.	- 5x2 - 12 x + 8
7x5 - 3x2 - x + 10		- 7x5 + 3x2 + x - 10

 Ejemplo 1:

  ( x² + x + 5 ) - ( 3x² - x - 7 )=

(x² + x + 5) + ( - 3x² + x + 7 )=       (cambia signo de cada término)

( x² - 3x² ) + ( x + x ) + ( 5 + 7)=     (agrupa)

- 2x² + 2x + 12    (suma o resta los coeficientes) (las variables prevalecen)

 Ejemplo 2:

  ( 11 - 2y + 5y² ) - ( - y - 6 + 4y² )=

( 11 - 2 y + 5y² ) + ( y + 6 - 4y² )=            (cambia signo de cada término)

( 11 + 6 ) + ( - 2y + y ) + ( 5y² - 4y² )           (agrupa)

17 - y + y²              ( suma o resta los coeficientes) ( las variables prevalecen)

  PRACTICA

  ( 11x² + 5x - 1 ) - ( 3x² - 8x - 22 )

  ( 7y² + y - 14 ) - ( 8y² -10 y- 2 )

  ( 13xy² + 37xy + 16 ) - ( ^- 41 - 8x² y - yx )

  ( z² + z + 1 ) - ( 2z² - 9z - 3 ) - ( 26 - z - ² )

( 2z² + 7z + 8 ) + ( z² - 11z - 2 ) + ( 6 - 7z - 2z² )

Multiplicación de polinomios

Que se hace

Se multiplica término a término, multiplicando los coeficientes y aplicando las propiedades de los exponentes para las bases ( variables) iguales en multiplicación.

 Ejemplo 1:

  ( 2 x² y³) ( 5x y² ) =

        ( 2 )( 5 ) (x² x) (y³ y²) =

(multiplican los coeficientes,  agrupan las mismas variables y suma los exponentes)

       10 x³y⁵
Ejemplo 2:

  (4x + 1)(2x - 6) =

(4x) (2x) + (4x)(-6)+ 1(2x) + 1(-6) = (multiplicación término a término)

(4) (2) (x) (x) + (4) (-6) (x) + (1) (2) (x) + (1) (-6) =

(multiplica coeficientes, agrupa las mismas variables)

8x² - 24x + 2x - 6 = (suma los exponentes y simplifica los términos parecidos )

8x²- 22x - 6

 PRACTICA

  ( 11x² y²) ( 3x y²)

  ( 4y² + y) ( 8y² -10)

  ( xy² + xy ) ( 7 - yx )

  ( z² + z + 1 )²

División de polinomios

Que se hace

Se divide término a término y se aplican las propiedades de los exponentes para bases iguales (variables) en división.

 Ejemplos:

FACTORIZACIÒN:

Factorización de polinomios
Factorizar un polinomio es equivalente a factorizar un número real. La idea es buscar polinomios que al multiplicarse produzcan el polinomio dado. Hay varios tipos de factorización. A continuación se presenta cada uno de ellos.

Tipo	Fórmula	Que se hace
Factor Común	ax + aby = a (x + by)	Se escogen los factores communes      (pueden ser números, variables o ambos) y se aplica la propiedad distributiva (dividiendo cada término por ese factor común).

 Ejemplo 1:

  2x + 6 = 2 ( x + 3 ) 

(el factor común es el número 2; divide cada término del binomio por ese factor para conseguir el otro factor)
Ejemplo 2:

  ab - bc = b ( a - c )

(el factor común es la variable b; divide cada término del binomio por ese factor para conseguir el otro factor)
Ejemplo 3:

  3x⁴ - 12x³ + 9x² = 3x² (x²- 4x + 3)

 ( el factor común esel número 3 y la variable x²; divide cada término del binomio por ese factor para conseguir el otro factor)

Practica:

     5x - 10y

     x³+ x² - x

     4x²y² - 6y³x² - 8x²y

Diferencia de cuadrados

Tipo	Fórmula	Que se hace
Diferencia de Cuadrados	x2 - y2 = (x - y) (x + y)	Rompe en dos binomios: uno de suma y otro de resta. Se completan con la raíz cuadrada de cada término.

Ejemplos:

  x² - 4 = (x-2) (x+2)

  y² - 9 = (y-3)(y+3)

  4z² - 25a² = (2z-5a) (2z+5a)

  w⁴ - 1 = (w²-1)(w²+1) = (w + 1) (w - 1) (w² + 1)

Practica:

   z² - 49

   x⁴- y⁶

   100 - 9y²

   25w¹⁰ - 16

   2x² - 8y²

TRINOMIO CUADRÁTICO TIPO 1

TIPO	Fórmula	Que se hace
Trinomio Cuadrático ax2 +bx + c, a = 1.	x2 + bx + c = ( + ) ( + ) Factorizan en signos iguales   x2 - bx + c = ( - ) ( - )	Rompe en dos binomios de suma y se completa con dos números cuyo producto es c y cuya suma sea b.  Rompe en dos binomios de resta y se completa igual que el anterior.

Ejemplos:

 x² + 7x + 10 = (x + 5) (x + 2)

5 x 2 = 10 y 5 + 2 = 7

  x² + 10x + 9 = (x + 9) (x + 1)

9 x 1 = 9 y 9 + 1 = 10

  x² - 8x + 12 = (x - 6) (x - 2)

( ^- 6) ( ^- 2) = 12 y ( ^- 6) + ( ^- 2) = ^- 8

  z⁴ - 10z² + 25 = ( z - 5 ) ( z - 5 )

( ^- 5) (^- 5 ) = 25 y ( ^- 5) + ( ^- 5) = 10

PRACTICA:

  x² + 6x + 8

  y² + 9xy + 8x²

  z² + 10z + 16

  x² - 16x + 39

  x²y² - 15yx + 14

  w² - 11w + 28

  z⁴ - 10z² + 25

TIPO	Fórmula	Que se hace
Trinomio Cuadrático ax2 +bx + c, a = 1.	x2 + bx - c = ( + ) ( - ) Factorizan en signos diferentes x2 - bx + c = ( + ) ( - )	Rompe en dos binomios de signos diferentes y se completa con dos números cuyo producto es c y cuya diferencia sea b. El factor mayor se coloca en el binomio de suma. Rompe en dos binomios de signos diferentes y se procede como el anterior. El factor mayor va en el binomio de resta.

Ejemplos:
 x² + 4x-12 = ( x + 6 ) ( x - 2 )
6 ( ^- 2) = ^- 12 y 6 +( ^- 2) = 4 ( el 6 va en el binomio de suma )
 x² + 4x - 5 = (x + 5) (x - 1)
5 ( ^- 1) = ^- 5 y 5 +( ^- 1) = 4 ( el 5 va en el binomio de suma )
 z² - 8z - 20 = ( z - 10) ( z + 2)
^- 10 ( 2) = ^- 20 y ^-10 +( 2) = ^- 8 ( el 8 va en el binomio de resta )
  w² - 2w - 15 = ( z - 5) ( z + 3)
^- 5 ( 3) = ^- 15 y ^- 5 +( 3) = ^- 2 ( el 5 va en el binomio de resta

PRACTICA:

 x² + 4x - 32

 y² - 23y - 50

 w² z² + 2zw - 3

 a⁴ - 7a² b³ - 18b⁶

TRINOMIO CUADRATICO TIPO 2

TIPO	Fórmula	Que se hace
Trinomio Cuadrático ax2 +bx + c, a ≠ 1.	ax2 + bx + c = ( + ) ( + ) factores de a son x, y. factores de c son r, s. Factores de a Factores de c Combinación igual a b      x                         r      y                        s       MULTIPLICA CRUZADO xs + yr = b Factorizan en signos iguales x2 - bx + c = ( - ) ( - )	Rompe en dos binomios de suma: para completarlos: Busca todos los factores de a y todos los de c. Colócalos formando dos columnas; la primera con los de a y la segunda con los de c. Multiplíca cruzado hasta obtener la combinación cuya suma da igual a b. Llena un binomio con los factores x, r y el otro con los factores y, s.  Rompe en dos binomios de resta y se completa igual que el anterior. Procede de la forma anterior.

Ejemplo 1:

2x² + 5x + 2 = (    +   ) (   +   )

factores de 2 son 2, 1.
factores de 2 son 2, 1.

Factores de 2	Factores de 2	Combinación igual a 5
2	2	2(1)+1(2) = 4
1	1
2	1	2(2)+!(1) = 5
1	2

Un binomio se completa con 2 y 1 y el otro con 1 y 2, así:

2x² + 5x + 2 = (2x + 1) (x + 2)

Ejemplo 2:

  3x² - 25x + 8 = (   -   ) (   -   )

factores de 3 son 3, 1.
factores de 8 son 1, 2, 4, 8.

Factores de 3	Factores de 8	Combinación igual a 25
3	2	3(4)+1(2) = 14
1	4
3	4	3(2)+1(4) = 10
1	2
3	1	3(8)+1(1) = 25
1	8

Un binomio se completa con 3 y 1 y el otro con 1 y 8, así:

3x² - 25x + 8 = (3x - 1) (x - 8)

PRACTICA:

  2x² + 10x + 8

  3y² + 17xy + 10x²

  8z² - 24z + 16

  4x² - 32x + 39

TIPO	Fórmula	Que se hace
Trinomio Cuadrático ax2 +bx + c, a ≠ 1.	ax2 + bx - c = ( + ) ( - ) Factorizan en signos diferentes factores de a son x, y. factores de c son r, s. Factores de a Factores de c Combinación igual a b      x               r      y              s MULTIPLICA CRUZADO xs - yr = b ax2 - bx - c = ( + ) ( - )	Rompe en dos binomios de signos diferentes: para completarlos: Busca todos los factores de a y todos los de c. Colócalos formando dos columnas; la primera con los de a y la segunda con los de c. Multiplíca cruzado hasta obtener la combinación cuya diferencia da igual a b. Llena un binomio con los factores x, r y el otro con los factores y, s. Coloca los factores en el binomio de signo adecuado.  Procede de la forma anterior.

Ejemplo3
5x² + 4x-12 = (   +   ) (   -   )
factores de 5 son 5, 1.
factores de 12 son 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Factores de 5	Factores de 12	Combinación igual a 4
5	2	5(6)-1(2) = 28
1	6
5	6	5(2)-1(6) = 4
1	2

Un binomio se completa con 5 y 6 y el otro con 1 y 2, así:

5x² + 4x-12 = ( 5x + 6 ) ( x - 2 )

 Ejemplo 4
 6z² - 2z - 20 = (   -   ) (   +   )
 factores de 6 son 6, 3, 2, 1.
factores de 20 son 1, 2, 4, 5, 10, 20

Factores de 6	Factores de 20	Combinación igual a - 2
3	4	3(5)-2(4) = 7
2	5
3	5	3(4)-2(5) = 2
2	4	Se necesita – 2; escoge – 4 como factor.

Un binomio se completa con 3 y 5 y el otro con 2 y – 4 , así:
6z² - 2z - 20 = ( 3z + 5) ( 2z - 4)

PRACTICA:

 12x² + 8x - 32

 8y² - 42y - 50

Tipos de Factorización:

 GUÍA 4:: FACTORIZACIÓN    

Vídeo bajado de: http://www.youtube.com/watch?v=Ni3vAmMMbaQ&feature=related